2021/03/04 (更新日: 2023/05/20)

【正規分布①】

数学

今回は、統計の世界に外すことのできない正規分布について説明する。
正規分布をもとにして、検定方法が用意されているぐらいなので、とにかく重要である。

というわけで、今回は正規分布について説明していく。

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正規分布

正規分布$は、全体を100％(もしくは１)とみなしたときに、『ある範囲において全体の何％いるのか』ということを算出できる分布になっている。

といっても意味が分からないと思うので、とりあえず進めていく。

正規分布を式で表すと、

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \exp (- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2})

で表される。

$x$ は確率密度変数、 $μ$ は母平均、 $σ^{2}$ は母集団における分散、 $σ$ は標準偏差である。
ちなみに、 $\exp (x) = e^{x}$ のことである。

全然分からんって人は、以下でそれぞれ説明しているので勉強してきてくれ！
・【統計の平均・分散・標準偏差】すでに知ってるかもしれないが導出しておく
・【統計：母集団・標本】すでに知ってるかもしれないが説明しておく

そして正規分布を図で表すと以下のようになる↓

横軸は $x$ 、縦軸は $f (x)$ であり、ｘ軸を見ると平均である $μ$ のところに山のてっぺんが来るようなグラフになっている。
また、山のなだらかなところに標準偏差である $\pm σ$ が来るようになっている。

さらに、最初に言ったように、このグラフ全体を足すと１(100％)になるという性質を持っている。
とりあえずは『こんなグラフなのかー』と眺めてほしい。

正規分布をどう使うんや？

で、この正規分布の式をどうするかというと、積分していく。
積分することで何割いるのかという値を出していくわけだ。ちなみにグラフ全体は１であることをお忘れなく。

例えば、 $μ - σ μ + σ$ のように、プラスマイナス標準偏差の間で積分をかますと
$\int_{μ - σ}^{μ + σ} f (x) d x = \int_{μ - σ}^{μ + σ} \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \exp (- \frac{1}{2} {(\frac{(x - μ)}{σ})}^{2}) d x$
と表される。