2021/02/27

地球の中心まで穴をあけた問題を解いてみる

今回は

で紹介されていた問題について解いてみようと思う。
とはいっても、0:22を見てみると、式も与えられているので、後は値をぶち込むだけだ。

地球の中心まで掘った穴に物体が飛び込んだ時、落ち始めてからの10分後の速さはいくらか？
$t$ 病後の物体の地球の中心部からの距離 $x$ は、
$x = R \cos (\sqrt{\frac{g}{R}} t)$ であり、
速さは $x$ を $t$ で微分した値の絶対値で求められる。

$重力加速度 g = 9.8 m / s^{2}$
$地球の半径 R = 6370 k m$
単位は $[k m / h]$ として、有効数字3桁で求めよ。ただし、必要であれば $\sin (0.744) = 0.677$ 、 $\sqrt{65} = 8.06$ としてよい。

勘の良い人は『こんなの微分して値ぶち込むだけやんけ！』とすぐわかる問題であり、電卓があれば済む問題である。

が、今回はせっかくなので、電卓を使わずどこまで行けるかやっていきたいと思う。
ただ計算を頑張った記録が書かれているだけなので、そこはご了承いただきたい。

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まずは微分するで

まずは微分。微分すると速度の式になるので、微分する。
すると、

x^{'} = - \sqrt{\frac{g}{R}} R \sin (\sqrt{\frac{g}{R}} t)

となるが、マイナスが出てしまいあれれ？大丈夫かな？となってしまう。
しかし、問題を見ると、これの絶対値が速さで良いよと言っているので、結局

v = \sqrt{\frac{g}{R}} R \sin (\sqrt{\frac{g}{R}} t)

となる。

こいつに値をぶち込んでいく訳だが、ちょっと大変なので分けて考えてみる

速さの式を分けるよ

v = \sqrt{\frac{g}{R}} R \sin (\sqrt{\frac{g}{R}} t)

に対して、

\sqrt{\frac{g}{R}} t \dots ①

R \sqrt{\frac{g}{R}} \dots ②

の部分をまず出していこう。

①式を解いていく

tは10分なので、60秒×10で600が入る。
また、それぞれの値を代入していくと、

\sqrt{\frac{g}{R}} t = \sqrt{\frac{9.8}{6370 \times 10^{3}}} \times 6 \times 10^{2}

となるが、電卓は使いたくない。

ここで、
$9.8 = \frac{98}{10} = \frac{2 \times 7 \times 7}{10}$
6370を素因数分解すると、 $6370 = 5 \times 2 \times 7 \times 7 \times 13$ 、よって、

\sqrt{\frac{2 \times 7 \times 7}{10^{4} \times 5 \times 2 \times 7 \times 7 \times 13}} \times 6 \times 10^{2}

となり、約分すると

\frac{1}{\sqrt{65}} \times 6

とすっきりした形になる。

で、問題文に戻ると、 $\sqrt{65} = 8.06$ を使っても良いとあるので、この条件を使いたいところだが、分母に来ているのがネック。
そこで有理化をおこなう。

\frac{1}{\sqrt{65}} \times \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}} \times 6 = \frac{6}{65} \times \sqrt{65}

で、ここでやっと計算をすると

923 \times 10^{- 4} \times 8.06 = 0.744

となる。
手計算は少々きついが、頑張って計算してほしい。

②式を解いていく

次は②式を解いていく、

R \sqrt{\frac{g}{R}} = \sqrt{R^{2}} \times \frac{\sqrt{g}}{\sqrt{R}} = \sqrt{R} \sqrt{g} = \sqrt{R g}

で値を入れて、素因数分解すると、

\sqrt{9.8 \times 6370 \times 10^{3}} = \sqrt{\frac{2 \times 49}{10} \times 2 \times 5 \times 13 \times 49 \times 10^{3}}

= \sqrt{2 \times 2 \times 49 \times 49 \times 5 \times 13} \times 10

よって

② = 2 \times 49 \times \sqrt{65} \times 10

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答えを出していくよ

いよいよ答えを出していく。
速さの式は、

v = \sqrt{\frac{g}{R}} R \sin (\sqrt{\frac{g}{R}} t)

だった。
このうち、 $\sin (\sqrt{\frac{g}{R}} t)$ は①式より、

\sin (\sqrt{\frac{g}{R}} t) = \sin (0.744) = 0.677

となる。これは最初に書いてるヒントをそのまま使っている。

よって、

v = \sqrt{\frac{g}{R}} R \times 0.677

となり、②で求めた値をゴリゴリ入れていくと、

v = (2 \times 49 \times \sqrt{65} \times 10) \times 0.677

を求めればいい訳だが、このままだと $m / s$ であるので、 $k m / h$ に直す必要がある。
秒速を時速にする場合は3600秒をかければよく、またキロメートルで表示したいのなら1000で割ればいいので、
(ちなみに、普通にミスった)

v = (2 \times 49 \times \sqrt{65} \times 10) \times 0.677 \times \frac{3600}{1000}

= (2 \times 49 \times \sqrt{65} \times 10) \times 0.677 \times \frac{36}{10}

= (2 \times 49 \times \sqrt{65}) \times 0.677 \times 36

で、 $\sqrt{65} = 8.06$ なので

v = 49 \times 36 \times 2 \times 8.06 \times 0.677

で、これを計算すると、 $1.93 \times 10^{4}$ と出てくる。
よって、答えは $1.93 \times 10^{4} k m / h$ となる。

感想

というわけで、電卓一発で出すのではなく、式変形をして最後の最後に計算する形で値を出してみた。
あたかも一発で出したような感じだが、速度の変換で普通にミスったし、5回ぐらい解いても違う答えになったので悲しくなった。

これが制限時間付きで、テレビで放映されている中で解けと言われたら無理かな。

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