2021/07/15

掛け算を速くする【③超インド式計算】

数学

この記事は以下を参考にしている。

一般的に知られているインド式計算方法はこちら
＞＞掛け算を速くする【②インド式計算】

そもそも、掛け算のコツが分からない方はこちら
＞＞かけ算を速くする【①基本編】

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超インド式計算

超インド式は、どんな計算でも使えるものになっている。
インド式では特定の場合のみ仕えたが、今回はどんな場合でもいける。とりあえず、2桁×2桁の計算ができる事をめざす。

理論

たとえば、２７×６９の計算は、以下のように置き換えることができる。

(2 x + 7) (6 x + 9)

展開すると、

12 x^{2} + 18 x + 42 x + 63

となるが、整理して

12 x^{2} + (18 + 42) x + 63

ここで $x = 10$ を入れれば、２７×６９の計算ができる事が分かる。
また、 $x^{2} = 100$ になる。つまり、位ごとに計算して足してやる、というのが超インド式の肝になる。

理論２

もう少し詳しく見ていこう。

$a_{10}, b_{10}$ を10の位の変数とする(ただし、取りうる範囲は０～９)
おなじく、 $a_{1}, b_{1}$ を1の位の変数とする(ただし、取りうる範囲は０～９)

先程と同様に因数分解の式で表すと、

(a_{10} \cdot x + a_{1}) (b_{10} \cdot x + b_{1})

となる。展開して

(a_{10} \cdot b_{10}) x^{2} + (a_{10} \cdot b_{1} + a_{1} \cdot b_{10}) x + a_{1} \cdot b_{1}

となる。

$x^{2}$ の項に注目すると、 $a_{10} \times b_{10}$ となっている。
添え字に注目すると、10の位×10の位＝100の位を意味する。すなわち、100の位に $a_{10} \times b_{10}$ を書けばよいことが分かる。例えばその答えが２１になったら、百の位に１を、２は繰り上がりとして千の位に来る訳だ。

次に $x$ の項に注目する。
$a_{10} \times b_{1}$ や $a_{1} \times b_{10}$ となっており、同じく添え字に注目する。
すると、10の位×１の位＝10の位であり、答えは10の位に書くことになる。例えばその答えが３２であれば、十の位に２を、３は繰り上がりとして百の位に行くわけだ。

そして、最後に $x$ の項がない $a_{1} \times b_{1}$ である。
言わずもがな、一の位に答えを書けばいい。例えば、その答えが４５であれば5が一の位、４が10の位の繰り上がるという訳だ。

実際に解いていく

①４６×７２
百の位は４×７で２８、
十の位は(６×７)＋(４×２)＝５０
ここまでの繰り上がりは、
＞２８００＋５００＝３３００(←覚えておく)

一の位は６×２で１２
よって先ほどの３３００に１２を加えて、３３１２となる。

②５７×７９
百の位は５×７で３５、
十の位は(７×７)＋(５×９)＝９４、
ここまでの繰り上がりは、
＞３５００＋９４０＝４４４０（←覚えておく）

一の位は７×９＝６３
よって４４４０に６３を加えて、４５０３となる。

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３桁同士の掛け算

同様にして3桁同士の掛け算にも適用できる。

同じ様に100の位まで考えたとして、

(a_{100} x^{2} + a_{10} x + a_{1}) (b_{100} x^{2} + b_{10} x + b_{1})

となるが、展開して、

(a_{100} \cdot b_{100}) x^{4} + (a_{100} \cdot b_{10} + a_{10} \cdot b_{100}) x^{3} + (a_{100} \cdot b_{1} + a_{10} \cdot b_{10} + a_{1} \cdot b_{100}) x^{2} + a_{1} \cdot b_{1}

$x^{4}$ は一万の位、 $x^{3}$ は千の位、 $x^{2}$ は百の位、 $x$ は十の位、何もない係数は一の位を表す。
桁上がりに関しては同様である。

3桁の掛け算を実際に解いてみる

実際に解いてみるがかなりややこしいので、実践で使えるかどうかは怪しいところ。

①１２３×５６８
一万の位
＞１×５＝５で、十万・一万の位は０５となる

千の位
＞(１×６)＋(２×５)＋＝１６で一万・千の位は１６となる
足すと５００００＋１６０００＝６６０００となる

百の位
＞(１×８)＋(２×６)＋(３×５)＝３５で、千の位・百の位は３５となる
足すと、６６０００＋３５００＝６９５００

十の位
＞(２×８)＋(３×６)＝３４で、百の位・十の位は３６となる
足すと、６９５００＋３４０＝６９８４０

一の位
＞３×８＝２４となり、十の位・一の位は２４となる
足して、６９８４０＋２４＝６９８６４

あと一問ぐらいやっておこう。
②５６２×４７３
一万の位
＞２０

千の位
＞（５×７）＋（６×４）＝５９
ここまで足すと、２５９０００

百の位
＞(５×３)＋(６×７)＋(２×４)＝６５
ここまで足すと、２５９０００＋６５００＝２６５５００

十の位
＞（６×３）＋（２×７）＝３２
ここまで足すと、２６５５００＋３２０＝２６５８２０

一の位
＞６
足すと、２６５８２０＋６＝２６５８２６となる

ここまで見てきた方ならわかると思うが、慣れるにはかなり時間がかかる。
しっかりと鍛錬を積んでくれ。。。

まとめ

超インド式計算方法について説明した。
同じ位のものを掛け算して和を取ることが肝になる。

暇があったら覚えてみてほしい。

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