掛け算を速くする【③超インド式計算】
この記事は以下を参考にしている。
一般的に知られているインド式計算方法はこちら
＞＞掛け算を速くする【②インド式計算】
そもそも、掛け算のコツが分からない方はこちら
＞＞かけ算を速くする【①基本編】
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超インド式計算
超インド式は、どんな計算でも使えるものになっている。
インド式では特定の場合のみ仕えたが、今回はどんな場合でもいける。とりあえず、2桁×2桁の計算ができる事をめざす。
理論
たとえば、２７×６９の計算は、以下のように置き換えることができる。
展開すると、
となるが、整理して
ここで$x=10$を入れれば、２７×６９の計算ができる事が分かる。
また、$x^2 = 100 $になる。つまり、位ごとに計算して足してやる、というのが超インド式の肝になる。
理論２
もう少し詳しく見ていこう。
- $a_{10}, b_{10}$を10の位の変数とする(ただし、取りうる範囲は０～９)
- おなじく、$a_{1}, b_{1}$を1の位の変数とする(ただし、取りうる範囲は０～９)
先程と同様に因数分解の式で表すと、
となる。展開して
となる。
$x^2$の項に注目すると、$a_{10} \times b_{10}$となっている。
添え字に注目すると、10の位×10の位＝100の位を意味する。すなわち、100の位に$a_{10}\times b_{10}$を書けばよいことが分かる。例えばその答えが２１になったら、百の位に１を、２は繰り上がりとして千の位に来る訳だ。
次に$x$の項に注目する。
$a_{10}\times b_{1}$や$a_{1} \times b_{10}$となっており、同じく添え字に注目する。
すると、10の位×１の位＝10の位であり、答えは10の位に書くことになる。例えばその答えが３２であれば、十の位に２を、３は繰り上がりとして百の位に行くわけだ。
そして、最後に$x$の項がない$a_1 \times b_1$である。
言わずもがな、一の位に答えを書けばいい。例えば、その答えが４５であれば5が一の位、４が10の位の繰り上がるという訳だ。
実際に解いていく
①４６×７２
百の位は４×７で２８、
十の位は(６×７)＋(４×２)＝５０
ここまでの繰り上がりは、
＞２８００＋５００＝３３００(←覚えておく)
一の位は６×２で１２
よって先ほどの３３００に１２を加えて、３３１２となる。
②５７×７９
百の位は５×７で３５、
十の位は(７×７)＋(５×９)＝９４、
ここまでの繰り上がりは、
＞３５００＋９４０＝４４４０（←覚えておく）
一の位は７×９＝６３
よって４４４０に６３を加えて、４５０３となる。
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３桁同士の掛け算
同様にして3桁同士の掛け算にも適用できる。
同じ様に100の位まで考えたとして、
となるが、展開して、
$x^4$は一万の位、$x^3$は千の位、$x^2$は百の位、$x$は十の位、何もない係数は一の位を表す。
桁上がりに関しては同様である。
3桁の掛け算を実際に解いてみる
実際に解いてみるがかなりややこしいので、実践で使えるかどうかは怪しいところ。
①１２３×５６８
一万の位
＞１×５＝５で、十万・一万の位は０５となる
千の位
＞(１×６)＋(２×５)＋＝１６で一万・千の位は１６となる
足すと５００００＋１６０００＝６６０００となる
百の位
＞(１×８)＋(２×６)＋(３×５)＝３５で、千の位・百の位は３５となる
足すと、６６０００＋３５００＝６９５００
十の位
＞(２×８)＋(３×６)＝３４で、百の位・十の位は３６となる
足すと、６９５００＋３４０＝６９８４０
一の位
＞３×８＝２４となり、十の位・一の位は２４となる
足して、６９８４０＋２４＝６９８６４
あと一問ぐらいやっておこう。
②５６２×４７３
一万の位
＞２０
千の位
＞（５×７）＋（６×４）＝５９
ここまで足すと、２５９０００
百の位
＞(５×３)＋(６×７)＋(２×４)＝６５
ここまで足すと、２５９０００＋６５００＝２６５５００
十の位
＞（６×３）＋（２×７）＝３２
ここまで足すと、２６５５００＋３２０＝２６５８２０
一の位
＞６
足すと、２６５８２０＋６＝２６５８２６となる
ここまで見てきた方ならわかると思うが、慣れるにはかなり時間がかかる。
しっかりと鍛錬を積んでくれ。。。
まとめ
超インド式計算方法について説明した。
同じ位のものを掛け算して和を取ることが肝になる。
暇があったら覚えてみてほしい。